~Russian Bear’Z Blog~

Это статья может оказаться полезной тем, кто впервые слышит это слово, и тем, кто давно торгует «вегой». Итак, волатильность (volatility) – это нормированная величина изменения цены. И от того как будем измерять движение цен зависит какую волатильность мы получим. Важно лишь то что это абсолютная величина, в отличии от ATR (Average True Range), т.е. если ATR на Сбербанке, к примеру 300, а на РАО ЕЭС, к примеру 0.1, это не значит что Сбербанк более волатильный, а роль играет процентное соотношение. Таким образом, зная эту абсолютную величину мы можем сказать, цена на какой актив более подвижная.

Волатильность бывает двух типов, можно придумать и больше, но фактически они подходят под эти два: историческая (historical) и ожидаемая (implied). Историческая - это волатильность, оценка которой проведена на основании исторических данных на этот актив. Ожидаемая волатильность - это такая волатильность, которая при подстановки в формулу Блэка-Шоулса даст цену последней сделки на опцион с ближнем погашением и страйком. Таким образом, ожидаемая волатильность имеет смысл, только если на этот актив торгуются опционы.

Продолжение:

Имея исторические данные, можем по-разному произвести оценку волатильности: это зависит от глубины данных, периодов в расчётах, методов и т.д. Все такие методы имеют разные цели, например: наименьшая погрешность 5-дневного запаздывания, или наибольшая приближённость к ожидаемой и т.д. Потом, в Интернете я однажды натолкнулся на сайт в котором определяются уровни для наиболее ликвидных американских акций из статистических соображений волатильности, и предлагается торговать от них «отскок». Забегая немного вперёд, поясню, что такая стратегия основана на следствии Центральной Предельной Теоремы: если известно что волатильность V 30%, а цена P акции ААА равна 50, то цена на следующий день окажется в диапазоне:

[P-PV/(100√	365	), P+PV/(100√	365	)]

с вероятностью 0.68, а если взять двойную волатильность то попадание в диапазон составит 0.95, тройную – 0.998. Дело в том что в данной ситуации мы имеем дело со статистической вероятностью, без какой-либо вероятностной модели (пространства), поэтому сложно делать выводы о результатах. Другое дело ожидаемая волатильность – по крайне мере есть заинтересованные лица в вероятности такого события. несмотря на это историческая волотильность легче поддаётся прогнозам.

Первый и пожалуй самый часто встречающий метод оценки исторической волатильности за какой-то период n на основе стандартного отклонения:

E =	n Σ i=1	ln	ci-1 ci

D =	n Σ i=1	(ln	ci-1 ci	- E)2

Vh = 100√	365D

n – период вычислений.
c_i – цена закрытия в убывающем порядке (0- сегодня, 1-вчера, …).
Е – средняя цена.
D – стандартное отклонение цен.
V_h– историческая волатильность.

Получается, что историческая волатильность это вероятное отклонение цены которое может произойти за год.
Часто, для верхнего значения ожидаемых цен в расчётах используется следующий переход:

Pожид = Pe	V/(100√ 365D )	= P+PV/(100√	365D	)

очевидно что при малых V такая точность всех устраивает.

Основной недостаток этого метода то, что результат не является упорядоченным от исходных данных, т.е. цена в начале периода могла сильно изменятся, а потом слабо, что дало бы нам такой же результат если бы было наоборот. Для этого придумали регрессивные модели построения распределений ARCH/GARCH. Модель волатильности ARCH(p), для ненулевого матожидания вычисляется как:

δi-1 = ln	ci-1 ci	, для i=1,…, p, где p

Va = √	α0D + p Σ i=1 αi δi2

p – порядок ARCH-модели.
δ_i – разница цен закрытия.

αi – нормированные коэффициенты модели,	p Σ i=1	αi = 1.

D – стандартное отклонение за некий период.
V_a – волатильность ARCH(p).

А в модели GARCH(p,q) присутствует регрессия непосредственно от самого результата:

Vgi = √	β0Va2 + q Σ i=1 βi(Vgi)2

βi – нормированные коэффициенты модели,	q Σ i=0	βi = 1.

V_gⁱ – волатильность GARCH(p,q) в убывающем порядке(0 – оценка на сегодня, 1 – вчера, …, q дней назад)

Остаётся подобрать коэффициенты α, β и можно использовать по назначению. Некоторые специалисты рекомендуют α₀ 0.95 для одних инструментов или 0.98 для других, но мне кажется все коэффициенты лучше подбирать для себя, или для какой-то конкретной задачи, верней для того чего вы хотите оценить волатильность. Лично я обычно использую GARCH(10,10) с коэффициентами α(0.5, 0.075, 0.075, 0.075, 0.075, 0.05, 0.05, 0.025, 0.025, 0.025, 0.025) и β(0.4, 0.09, 0.09, 0.09, 0.09, 0.06, 0.06, 0.03, 0.03, 0.03, 0.03). Вот как выглядит такая модель в сравнении с волатильностью, вычисленной на основе стандартного отклонения на дневном графике РАО ЕЭС (Рис. 1.):

Рис. 1.
(Волатильность GARCH(10,10) – синяя линия,
волатильность на основе стандартного отклонения – красная линия)

В обоих случаях использовалось 30-и дневное окно. То что синяя линия выше красной, это уже хорошо, потому что ожидаемая волатильность в последний день была ещё больше - 32%. И потом синяя линия имеет опережающую динамику. Вот код этого индикатора в TS Omega:


{|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ GARCH Volatility Indicator
~ EasyLanguage code for Omega TradeStation
~ whiteline Group Copyright (c) 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||}
Input:
    period(numeric);
var:
    d1(0.3),
    d2(0.3),
    d3(0.2),
    d4(0.1),
    d5(0.1),
    r1(0.3),
    r2(0.3),
    r3(0.2),
    r4(0.1),
    r5(0.1),
    ii(0),
    Base(0),
    Diff(0),
    AvgDiff(0),
    ARCH(0),
    GARCH(0);
Diff = log(c/c[1]);
AvgDiff = Average(Diff, period);
Base = 0;
for ii = 0 to period-1
begin
    Base = Base + 365*Square(Diff[ii] - AvgDiff)/period;
end;
ARCH = 0.5*Base + 0.5*365*(
    (Square(Diff[0])+Square(Diff[1]))*d1 +
    (Square(Diff[2])+Square(Diff[3]))*d2 +
    (Square(Diff[4])+Square(Diff[5]))*d3 +
    (Square(Diff[6])+Square(Diff[7]))*d4 +
    (Square(Diff[8])+Square(Diff[9]))*d5
    )/2;
GARCH = 0.4*ARCH + 0.6*(
    (GARCH[1]+GARCH[2])*r1 +
    (GARCH[3]+GARCH[4])*r2 +
    (GARCH[5]+GARCH[6])*r3 +
    (GARCH[7]+GARCH[8])*r4 +
    (GARCH[9]+GARCH[10])*r5
    )/2;
plot1(SquareRoot(GARCH), “GARCH Vola”, blue);


Как-то один мой друг предложил рассматривать волатильность «вверх» и «вниз», причём сослался на это, как всем известный факт. После некоторых поисков в Интернет и литературе, я не нашёл ничего подобного, а скорее наоборот, нашёл отрицание существования таких разграничений. Но мне это идея показалась не так уж и плохой, а если быть откровенным то именно эту модель я и использую в опционной торговле. Итак, идея в следующем: необходимо разбить ряд Vⁱ на две составляющие Uⁱ, Dⁱ , так что б для любого i выполнялось равенство Vⁱ = (Uⁱ+Dⁱ)/2 и у ряда Uⁱ присутствовала связь c ростом цен (корреляция в данном случае), а у Dⁱ – c падением (антикорреляция). Всё это проделано для GARCH-модели (Рис 2.):

Рис. 2. Разбиение волатильности
(U – зелёная линия, D – красная, V – синяя)

Посередине изображены сами эти ряды – «волатильность вверх», «волатильность вниз», а внизу их корреляция с ценой. Из рисунка видно что корреляция GARCH-модели строго между корреляциями её составляющих, и потом их среднее в любой момент всегда равна «первообразной».

Статьи по теме:
Разбиение волатильности

---